Sur les extensions de modules filtrés

In: Bulletin de la Classe des sciences, Band 54, Heft 1, S. 537-560

Abstract

Résumé. — Cet article reprend les grandes lignes et les résultats saillants d'une thèse de doctorat présentée sous le même titre à l'Université de Bruxelles [9].
Les « modules filtrés » que nous considérons ici sont une généralisation très large de la notion de «module filtré » de Bourbaki [2] ou de celle de Lazard [6].
Grâce à cette généralisation, nous pouvons faire entrer dans notre théorie nombre de situations connues — dont on trouvera un aperçu dans la bibliographie de [9] (filtrations S-adiques, filtrations par annulateurs...) — et même des situations topologiques, comme les modules linéairement topologisés [2],
Nous étudions ces modules filtrés dans le cadre de catégories ℳ(R,I) (n° 1) qui sont quasi-abéliennes (mais non abéliennes) au sens de Yoneda [12]. Nous introduisons un procédé de description des extensions dans ℳ(R,I) et nous construisons directement à partir de cette description le foncteur Ext (sans utiliser de résolutions projectives ni injectives (n° 2)). Des cas particuliers sont examinés au n°3 tandis que le n° 5 et le n° 6 étudient les propriétés fonctorielles de Ext. Un résultat intéressant est, sous des conditions fréquemment réalisées, l'existence de suffisamment de modules projectifs pour construire des résolutions projectives de tout module (n° 6).
Dans les sections suivantes, nous recherchons des descriptions plus simples des extensions.
Tout d'abord, nous avons défini au n° 4 deux sous-groupes de Ext (C,A) :
— le sous-groupe Extr(C,A) des extensions régulières : pour tout c ∈ C, il existe un antécédent b dans l'extension tel que c ∈ Ci => b ∈ Bi.
— pour un sous-anneau D de R, le sous-groupe [formula] des extensions pour lesquelles il existe un système de représentants qui est D-linéaire.
Ces sous-groupes ont des représentations particulièrement simples. Nous examinons alors les conditions sous lesquelles l'étude de Ext peut se ramener à celle de Extr (n° 7) ou de [formula] (n° 8). Dans les nos 9 et 10, nous utilisons des critères d'annulation de [formula] — qui peuvent d'ailleurs servir à l'élaboration de critères d'annulation de Ext — pour construire un isomorphisme de Ext(C,A) sur un groupe de morphismes Hom(X,A').
Nous terminons par un aperçu des applications topologiques possibles.
Je remercie Monsieur le Professeur Papy pour le patronage qu'il a bien voulu accorder à ma thèse et les conseils précieux qu'il m'a donnés à cette occasion ainsi que Monsieur le Professeur Lepage qui a accepté de présenter ce mémoire.