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Étude d'un point de diramation en lequel le cône tangent à la surface multiple se scinde en deux cônes et est suivi d'un point double biplanaire suivi lui-même d'un point double conique. Formation de cette singularité.

On considère une surface algébrique Φ image d'une involution d'ordre premier, cyclique, appartenant à une surface F et n'ayant qu'un nombre fini de points unis. Les relations entre le genre linéaire, l'invariant de Zeuthen-Segre et le genre arithmétique de F, et les invariants correspondants de Φ, dépendent de la structure des points unis de l'involution et de celle des points de diramation de Φ. On indique comment on peut établir ces relations en utilisant une méthode due à M. F. Severi.

Étude d'un point de diramation d'une surface multiple d'ordre 83, multiple d'ordre sept pour cette surface, le cône tangent se décomposant en un cône (σ1) du quatrième ordre et en trois plans (τ1), (τ2),( σ2). Le cône (σ1) et le plan (τ1) ont une génératrice commune, les plans (τ1) et (τ2), (τ2) et (σ2) se rencontrent suivant une droite. Au point de diramation est infiniment voisin un point double coni¬ que sur la droite commune aux plans (τ2), (σ2).

Si la surface F représente les courbes de points d'une courbe algébrique L contenant une involution cyclique yp d'ordre premier impair p, il existe sur F une involution cyclique Ip d'ordre p. A un point uni de yp compté deux fois correspond un point uni de Ip. On démontre qu'à ce point est infiniment voisin un point uni de première espèce.

Construction de quelques surfaces algébriques dont le diviseur de Severi est égal à trois, comme images d'involutions cycliques de période trois, privées de points unis, appartenant à des surfaces algébriques.