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Aus der Einleitung: Im Rahmen dieser Diplomarbeit befassen wir uns mit der Modellierung von Aktienpreisprozessen mit Hilfe der lokalen Volatilität. Die Einführung der lokalen Volatilität in der finanzmathematischen Welt wurde von B. Dupire und E. Derman realisiert. In ihren Artikeln [18] beziehungsweise [17] analysieren die Autoren diese innovative Findung zur Bestimmung der Optionspreise. Der Aufbau dieser Diplomarbeit entspricht der chronologischen Reihenfolge, in der diese Modellierung erweitert worden ist. Zuerst befassen wir uns näher mit der Modellierung von Finanzmärkten nach F. Black und M. Scholes. Dieses in dem Jahr 1973 entwickelte Modell repräsentiert einen Ausgangspunkt für weitere Modellierungen. Wir diskutieren die restriktiven Annahmen dieses Modells und motivieren dadurch die Notwendigkeit eines permissiveren Modells. Der Aufbau des Modells und die Herleitung der Black-Scholes Gleichung werden in dem Kapitel 1 dieser Diplomarbeit detailliert präsentiert. In dem Kapitel 2 diskutieren wir verschiedene klassische Ansätze zur Bestimmung der Volatilität. Die Kritik an diesen Vorgehensweisen motiviert unsere Präferenz für die lokale Volatilität. Der Kern dieser Arbeit ist das Kapitel 3. Wir beginnen in diesem Kapitel mit der Herleitung der lokalen Volatilität nach Dupire. Dieses Resultat benötigen wir für den weiteren Verlauf dieser Arbeit. Die lokale Volatilität als bedingter Erwartungswert und die Umwandlung der lokalen Volatilität in die implizite Volatilität sind ebenfalls detailliert dargestellt. Das Verhalten der lokalen Volatilität in einem stochastischen Aktienpreismodell, sowie die Berechnung und Visualisierung der lokalen Volatilitätsäche ergänzen das Kapitel 3. Mit Hilfe eines Matlab-Programmes für eine parametrische Familie der lokalen Volatilität generieren wir die Flächen dieser Volatilität. Das Kapitel 4 fasst die Resultate aus den Artikeln [7], [8] und [9] zusammen. Wir geben in diesem Kapitel zwei Aktienpreismodelle an, in welchen die lokale Volatilität dynamisch ist. Unter geeigneten Regulationsannahmen beweisen wir, dass solche Aktienpreismodelle arbitragefrei sind. Dieses Resultat ist das Hauptergebnis des Kapitels 4. Für ein intuitiveres Verständnis visualisieren wir den Diffusionsterm der lokalen Volatilität, anhand eines Matlab-Programmes. Wir ergänzen die Analyse dieses Modells mit weiteren Anmerkungen über lokale Hedgingstrategien.Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis: 1.Modellierung nach Black und Scholes5 1.1Finanzmathematische Grundlagen5 1.2Annahmen des Finanzmodells9 1.3Aufbau des Modells12 1.3.1Black-Scholes-Gleichung12 1.3.2Black-Scholes-Formel16 2.Klassische Bestimmung der Volatilität23 2.1Historische Volatilität23 2.1.1Logarithmische Kursschwankungen24 2.1.2Definition der historischen Volatilität26 2.2Implizite Volatilität28 2.2.1Inverses Problem der Finanzmathematik28 2.2.2Smile-Effekt30 2.3Stochastische Volatilität32 2.3.1Hull-White Modell33 2.3.2Heston Modell35 2.4Schwächen dieser Vorgehensweisen.37 2.4.1Defizite der historischen Volatilität37 2.4.2Defizite der impliziten Volatilität37 2.4.3Defizite der stochastischen Volatilität38 3.Lokale Volatilität39 3.1Dupire'sche Formel40 3.1.1Diskussion über die Dupiresche Formel47 3.2Lokale Volatilität als bedingte Erwartung48 3.3Lokale Volatilität als Implizite Volatilität53 3.4Lokale Volatilität in stochastischen Aktienpreismodellen61 3.5Parametrische Familie der lokalen Volatilität69 3.5.1Parametrische Herleitung der lokalen Volatilität69 3.5.2Log-normaler Fall74 3.5.3Numerische Anwendung76 4.Aktienpreismodelle mit lokaler Volatilität79 4.1Einführung und Notationen79 4.2Modellbeschreibung81 4.3Diffusionsterm der lokalen Volatilität84 4.4Semi-Martingal-Darstellung86 4.5Arbitragelosigkeit der Modellierung.89 4.6Hedging in einem Modell mit dynamischer lokaler Volatilität97 A - Anhang105 A.0.1Herleitung der Optionskennzahlen105 A.0.2Herleitung der Fokker-Planck Gleichung110 A.0.3Anwendung der Feynman-Kac Formel115 B - Matlabprogramme117 B.0.4Black-Scholes Preisformel117 B.0.5Zwei Pfade eines Wiener-Prozesses118 B.0.6Kennzahlen einer Call Option118 B.0.7Parametrische Familie der lokalen Volatilität nach R. Carmona122 C - Beweise der benötigten Lemmata und Sätze124 C.0.8Beweis von Lemma 4.7124 C.0.9Beweis von Lemma 4.8129 C.0.10Beweis von dem Satz 4.9136 C.0.11Beweis von dem Satz 4.10138Textprobe:Textprobe: Kapitel 2.4, Schwächen dieser Vorgehensweisen: Berechnen wir die Volatilität durch die drei vorgestellten Ansätze der historischen, impliziten oder stochastischen Volatilität, so ergeben sich durchaus Rechenfehler. In diesem Abschnitt gehen wir näher auf die Nachteile dieser drei Vorgehensweisen ein. 2.4.1, Defizite der historischen Volatilität: Die Schätzung der tatsächlichen Volatilität mit Hilfe der historischen Volatilität weist Schwächen auf. Ein großes Defizit liegt in der nicht eindeutigen Definition 2.2 der historischen Volatilität. Zum Beispiel können aktuellere Kurswerte stärker gewichtet werden als ältere Werte. Unter der Annahme, dass die Kursschwankungen des Basiswertes dasselbe Verhalten wie in der Vergangenheit aufweisen, so kann man die reale Volatilität (sigma) in der Black-Scholes-Gleichung durch die historische Volatilität (sigma)-hist ersetzen. Diese Vorgehensweise ist aber nicht optimal und führt zu erheblichen Fehlern in der Preisbestimmung. Diese Fehler ergeben sich, da die tatsächliche Volatilität über die Zeit variiert. Zudem geben vergangene Werte keine zuverlässige Vorhersage für zukünftige Entwicklungen an. In dem Berechnungsalgorithmus der historischen Volatilität werden lediglich Schlusskurse benötigt. Die Eröffnungs-, Hoch-, oder Tiefkurse werden vernachlässigt. Also ist die bedeutendste Schwäche der historischen Volatilität die Beeinflussung durch Einzelereignisse. 2.4.2, Defizite der impliziten Volatilität: Verwenden wir die implizite Volatilität aus Kapitel 2.2 für die Bestimmung der realen Volatilität, so ergeben sich einige Schwächen. Zunächst müssen wir bei der Berechnung der impliziten Volatilität den Mittelwert Cobs der Optionspreise auf demselben Basiswert und mit dem gleichen Strike bestimmen. Da diese wenigen am Markt ablesbaren Optionspreise nur Schätzungen sind, erhalten wir einen ungenauen Wert für die implizite Volatilität. In der Praxis ändert sich die reale Volatilität einer Aktie nicht wesentlich, wenn der Wert der Aktie leicht fällt oder steigt. Aber wir beobachten nach Bemerkung 2.5 große Schwankungen der impliziten Volatilität, wenn der Aktienpreis variiert. Dieser 'floating smile' ist ein weiteres Problem bei der Bestimmung der impliziten Volatilität. Benutzen wir die implizite Volatilität statt der realen Volatilität für die Optionspreisbestimmung nach Black-Scholes, so erhalten wir fehlerhafte Preise. Diese fehlerhaften Preise resultieren aus der Tatsache, dass die reale Volatilität nicht konstant ist, sondern sich über die Zeit verändert. Das folgende Zitat beschreibt zusammenfassend die Situation: 'The implied volatility is the wrong number to put in the wrong formula to obtain the right price.' (Riccardo Rebonato) 2.4.3, Defizite der stochastischen Volatilität: Bei der Modellierung der Aktienpreise mit stochastischer Volatilität nach der Definition 2.6 benutzen wir zwei Zufallsquellen. Also ist in dieser Modellierung die Anzahl der Zufallsquellen größer als die Anzahl der dabei betrachteten Aktien. Nach dem Meta-Theorem aus dem Buch [2] von T. Björk erhalten wir ein arbitragefreies Modell, welches nicht mehr vollständig ist. Das bedeutet, dass kein eindeutiges äquivalentes Martingalmaß existiert. Das hat zur Folge, dass wir den Wert eines Derivates in diesen Modellen nicht nur mit dem Bond und der Aktie replizieren können. Also besteht das Problem bei der Modellierung mit stochastischer Volatilität darin eine Hedging-Strategie für das Derivat zu finden.

Die Beiträge des Bandes befassen sich mit den Mechanismen der Preisbildung auf den Finanz- und Devisenmärkten. Besonderes Interesse gilt der Rolle von Spekulation und Arbitrage und der sich daraus ergebenden Volatilität der Finanzmarktpreise. -- Der Beitrag von E. W. Streissler hat die Theorie der Wechselkurse zum Gegenstand. Ausgehend vom Grundprinzip der Kaufkraftparität sowie jenem der Zinsparität, werden neuere Modellentwicklungen und ihr Potential zur verbesserten empirischen Erklärung der Wechselkursentwicklung dargestellt und diskutiert. Die Studie von A. A. Weber analysiert spekulative Attacken auf eine bestimmte Währung. In der vorliegenden Arbeit wird versucht, die Beiträge des fundamentalen und des spekulativen Faktors zu konkreten Währungskrisen empirisch zu schätzen. Der Beitrag von V. Alexander untersucht den Einfluß von geldpolitischen Maßnahmen der Bundesbank auf die Finanzmärkte. Im Ergebnis konnte ein signifikanter Einfluß von Zentralbankratsitzungen und Leitzinsänderungen auf die Volatilität von Tages- und Monatszinsen nachgewiesen werden; Kapitalmarktzinsen, Aktien- und Wechselkurse scheinen sich hingegen weitgehend unabhängig von geldpolitischen Aktionen zu entwickeln. -- Der Aufsatz von J. Wolters analysiert die Renditestruktur am deutschen Kapitalmarkt. Gemäß der Erwartungshypothese der Zinsstruktur sollten Zinsdifferentiale zwischen Renditen mit unterschiedlichen Restlaufzeiten stationär sein. Die vorliegende Arbeit findet keine empirische Evidenz für die Gültigkeit dieser These; hingegen konnten Kointegrationsbeziehungen zwischen verschiedenen Spreads festgestellt werden. Dies bedeutet, daß die Zinsstruktur nicht nur von einem, sondern von zwei gemeinsamen Faktoren getrieben wird. Die Vermutung liegt nahe, daß diese zwei Faktoren die nationale Geldpolitik und der internationale Zinszusammenhang sind. Der abschließende Beitrag von P. Kugler untersucht den Zusammenhang zwischen der Hypothese der ungedeckten Zinsparität sowie der Erwartungshypothese der Zinsstruktur und der Notenbankpolitik. In einem Modell mit rationalen Erwartungen werden die Auswirkungen einer Geldpolitik analysiert, die auf Veränderungen der Zinsstruktur reagiert und "leaning against the wind" betreibt. Es kann gezeigt werden, daß eine Politik der Reaktion der Zentralbank auf die Zinsspanne bzw. auf Wechselkursveränderungen der Geltung der Erwartungshypothese förderlich ist