Search results

Un tel système peut être ramené à un autre, également complètement intègrable et composé d'un nombre double d'équations, toutes étant cette fois lnéaires et homogènes.

Elle s'obtient en envisageant trois points du cercle générateur et à chacun desquels on associe une certaine sphère touchant son enveloppe en des points occupant une position particulière.

Nous établissons une extension aux réseaux conjugués de la formule d'Enneper liant la torsion d'une ligne asymptotique à la courbure totale de la surface. En ce qui concerne les congruences, nous introduisons les torsions géodésiques des arêtes de rebroussement de leurs développables.

Après avoir repris la notion de congruences doublement stratifiables, cette fois en faisant usage de la méthode du tétraèdre mobile, nous sommes amenés à envisager des tétraèdres dont les six arêtes engendrent des congruences W, figure dont l'existence sera d'ailleurs établie.

Après avoir établi deux propriétés caractéristiques d'une congruence de sphères pour lesquelles les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes de l'enveloppe, nous envisageons un certain complexe de cercles, ceux-ci portant une infinité de points engendrant des systèmes triples orthogonaux.

Il s'agit de systèmes cycliques de Ribaucour dont le cercle générateur jouit en outre de la propriété en vertu de laquelle il existe une sphère (et par suite une infinité), passant par ce cercle et dont les points caractéristiques sont concycliques avec les foyers dudit cercle.

Après avoir essayé de caractériser d'une autre manière les cercles possédant deux sphères focales ou, éventuellement, une seule pareille sphère, nous envisageons les cercles dépourvus de sphères focales. Nous leur associons une conique jouissant d'une double interprétation, la figure faisant apparaître au surplus une biquadratique gauche de seconde espèce.

Cette famille dépend de deux fonctions arbitraires, cependant que les foyers des cercles générateurs sont répartis sur un même cercle, lequel est intimement lié au cercle générateur d'un système hypercyclique.

En partant de deux réseaux conjugués (O)υν, (O')υν se coupant inversement en Ω, Ω', les réseaux (Ω)υν, (Ω')υν étant aussi conjugués sans que l'on ait affaire à un cycle de Laplace, et si, en outre, les congruences (OO') et (ΩΩ') sont Wυ,ν, on arrive à construire une suite illimitée et à double sens de congruences W, le passage de chacune d'elles à la suivante ne s'effectuant pas par une transformation de Laplace; Nous établissons l'existence d'une telle figure, laquelle fait partie au surplus d'une famille de figures analogues.

Les propriétés que nous avons en vue concernent des réseaux se coupant inversement et dont les points générateurs sont répartis sur une droite engendrant une congruence W.

Résumé. — Une curieuse expression du nombre π est obtenue directement à partir de la série classique de Leibnitz, la convergence pouvant d'ailleurs être améliorée au moyen d'une autre série.

Nous établissons l'existence d'une infinité simple de cycles de Laplace (P1P3P2P4), de période quatre, tels que les points P1, P2 soient répartis sur un rayon d'une congruence, cependant que P3, P4 le soient sur un autre rayon de la même congruence, au surplus nécessairement linéaire. En outre, les asymptotiques se correspondent sur toutes les surfaces (P1).

Après avoir repris les systèmes complémentaires à lignes conjuguées, nous nous occupons des systèmes-droite orthogonaux à des systèmes-plan.

Nous indiquons le rôle joué par deux sphères orthogonales convenablement choisies, dans l'étude de la transformation de Combescure entre deux systèmes triples orthogonaux. Le centre du cercle commun à ces sphères décrit alors un système triple orthogonal correspondant à chacun des systèmes précédents dans une transformation de Ribaucour.

En envisageant la figure obtenue en soumettant une sphère de Ribaucour au théorème de permutabilité, nous considérons certains cercles et sphères attachés à cette configuration et établissons des propositions réciproques et notamment une propriété caractéristique des congruences de sphères cycliques.