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On étend à l'adjointe un cas d'intégrabilité sous forme finie de l'équation de Bessel

Expressions générales des éléments et des extrémés de la distance à l'origine du cercle image d'un cercle dans une homographie sur le plan de Gauss.

Dans son remarquable ouvrage Funktionentheorie (1950) publié sur la fin de sa vie par C. Carathéodory, le très regretté géomètre fonde la théorie du mouvement dans le plan de Gauss sur l'étude des cercles obtenus en coupant la sphère de Riemann par des plans passant par un point fixe. On peut se passer de cette représentation et retrouver les caractères intrinsèques du mouvement par une méthode algébrique tirée de la géométrie circulaire du plan gaussien.

On met ici en valeur un critère de fermeture, de caractère analytique, dû à M. Ch. de La Vallée Poussin, conduisant à une démonstration simplifiée du théorème de Thomsen. L'application en est faite à la détermination des réseaux à la fois hexagonaux et isothermes.

On cherche à construire l'équation de Riccati dont la solution générale définit une famille isotherme. Cette équation s'intègre, sous forme finie, par une fonction harmonique particulière dépendant de deux paramètres.

La solution du problème de G. Thomson dérive de l'approximation de l'erreur de fermeture de l'hexagone construit avec trois courbes du réseau et donne lieu à deux critères généraux de fermeture dont l'application aux réseaux rectilignes fournit déjà des résultats importants sur la génération de ces réseaux.