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En recourant à l'intégrale de Lebesgue, on peut établir, entre les dérivées secondes fxy(x, y) et fyx(x, y) d'une fonction f(x, y), définie sur un domaine D, des relations dont on déduit des conditions nécessaires et suffisantes de leur identité sur D. Une précision nouvelle est ainsi apportée aux théorèmes de Young et de Schwarz sur l'interversion des dérivations secondes.

Dans un anneau non associatif quelconque A nous définissons une fonction symétrique de n éléments de A. Cette fonction satisfait à une identité que nous appliquons (dans le cas n = 4) à l'étude des algèbres du quatrième degré sur un anneau B associatif, commutatif et avec un élément unité 1. Si ces agèbres A sont à cubes uniques et satisfont à une condition de linéarité (L) elles sont à puissances commutatives et si dans A là division par 2 est toujours . possible le module de tout sous anneau [x] est engendré par, au plus, sept éléments.