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Le but de cette note est d'étudier les propriétés de transitivité dans une catégorie concrète 𝒜 avec comme principal instrument la donnée d'une structure plus forte sur certains objets de 𝒜 ; par exemple, l'étude de la transitivité dans le groupe additif d'un anneau au moyen des multiplications de cet anneau. Au n° 1 nous formalisons cette situation ; le théorème 1.8 nous fournit un cadre que nous avons étudié dans notre thèse [2] et dans lequel l'action de la structure forte s'exerce de façon efficace.
Aux n° 2, 4, 5, nous démontrons quelques résultats simples ; de plus, en ajoutant des précisions sur les catégories utilisées, nous construisons une suite exacte qui nous fournit des renseignements plus fins sur la transitivité (n° 4 et 5).
Au passage, nous examinons l'anneau des endomorphismes du module additif d'un anneau (n° 3).
Enfin, nous obtenons quelques résultats précis dans le type de catégories introduites en 1.8.
Par ce biais, nous généralisons les résultats de base de Armstrong [1]. Notre terminologie est celle de Mac Lane [4] ou Mitchell [5] avec des compléments tirés de Yoneda [6] ; si 𝒜 est une catégorie, A, B ∈ Ob 𝒜, nous notons 𝒜(A,B) l'ensemble des morphismes de A dans B.
ℰ désigne la catégorie des ensembles et des fonctions.

Résumé. — Cet article reprend les grandes lignes et les résultats saillants d'une thèse de doctorat présentée sous le même titre à l'Université de Bruxelles [9].
Les « modules filtrés » que nous considérons ici sont une généralisation très large de la notion de «module filtré » de Bourbaki [2] ou de celle de Lazard [6].
Grâce à cette généralisation, nous pouvons faire entrer dans notre théorie nombre de situations connues — dont on trouvera un aperçu dans la bibliographie de [9] (filtrations S-adiques, filtrations par annulateurs...) — et même des situations topologiques, comme les modules linéairement topologisés [2],
Nous étudions ces modules filtrés dans le cadre de catégories ℳ(R,I) (n° 1) qui sont quasi-abéliennes (mais non abéliennes) au sens de Yoneda [12]. Nous introduisons un procédé de description des extensions dans ℳ(R,I) et nous construisons directement à partir de cette description le foncteur Ext (sans utiliser de résolutions projectives ni injectives (n° 2)). Des cas particuliers sont examinés au n°3 tandis que le n° 5 et le n° 6 étudient les propriétés fonctorielles de Ext. Un résultat intéressant est, sous des conditions fréquemment réalisées, l'existence de suffisamment de modules projectifs pour construire des résolutions projectives de tout module (n° 6).
Dans les sections suivantes, nous recherchons des descriptions plus simples des extensions.
Tout d'abord, nous avons défini au n° 4 deux sous-groupes de Ext (C,A) :
— le sous-groupe Extr(C,A) des extensions régulières : pour tout c ∈ C, il existe un antécédent b dans l'extension tel que c ∈ Ci => b ∈ Bi.
— pour un sous-anneau D de R, le sous-groupe [formula] des extensions pour lesquelles il existe un système de représentants qui est D-linéaire.
Ces sous-groupes ont des représentations particulièrement simples. Nous examinons alors les conditions sous lesquelles l'étude de Ext peut se ramener à celle de Extr (n° 7) ou de [formula] (n° 8). Dans les nos 9 et 10, nous utilisons des critères d'annulation de [formula] — qui peuvent d'ailleurs servir à l'élaboration de critères d'annulation de Ext — pour construire un isomorphisme de Ext(C,A) sur un groupe de morphismes Hom(X,A').
Nous terminons par un aperçu des applications topologiques possibles.
Je remercie Monsieur le Professeur Papy pour le patronage qu'il a bien voulu accorder à ma thèse et les conseils précieux qu'il m'a donnés à cette occasion ainsi que Monsieur le Professeur Lepage qui a accepté de présenter ce mémoire.

Résumé. — Considérons un anneau topologique discret A et un A-module M, muni d'une topologie de A-module T.
Soient I un ensemble ordonné par ⩽, filtrant à gauche, et un ensemble de sous-modules fermés Mi de M, indexés par I, tels que i ⩽ j entraîne Mi ⊂ Mj et que l'intersection des Mi soit {0}. Nous désignerons par Mi le module M /Mi et par M̂ le module limite projective des Mi pour les épimorphismes canoniques. Si les Bk et les Sk sont une famille de A-modules, avec Sk ⊂ Bk, parmi les sommes interdirectes des Bk (c'est-à-dire les sous-modules intercalés entre Σ ⨁ Bk et la somme directe complète) nous distinguons la « somme interdirecte relativement aux Sk», Σ Bk (Sk) : le sous-module de la somme directe complète des Bfc formé des éléments dont toutes les composantes, sauf un nombre fini, appartiennent aux Sk.
Le but de cette note est de déterminer la structure de M̂ lorsque les modules Mi sont de telles sommes interdirectes.
Les résultats principaux se trouvent au § 2.
Au § 3, nous avons indiqué quelques applications de cette théorie. Tous nos résultats sont présentés sans démonstration.
Nous remercions Monsieur le Professeur Papy pour les précieux conseils qu'il nous a donnés lors de la rédaction de cette note.